Sunday, June 10, 2012

PENJUMLAHAN DERET ARITMATIK (Bagaimana menjumlahkan bilangan dari 1 sampai 100?)

Penjumlahan deret aritmatik. mungkin judul ini agak kurang familiar bagi anak SD, tetapi sebenarnya konsepnya sudah banyak diterapkan bagi anak SD terutama mereka yang rajin ikut lomba ataupun olimpiade matematika SD, tak jarang pula konsep ini muncul pada soal-soal lomba maupun olimpiade SMP. Materi teoritisnya sebenarnya diajarkan di SMP, tepatnya kelas 3 semester 2. langsung saja,, berawal dari suatu masalah/pertanyaan sederhana seperti contoh berikut:

" berapakah jumlah bilangan dari 1 sampai 100 ??? "

bagi anda yang tahu triknya, soal ini tidaklah sulit, tapi bagi yang belum tahu mereka akan kerepotan. apalagi kalau kita harus mengajarkannya pada siswa SD, diperlukan suatu pendekatan yang tepat agar siswa tidak hanya mendapat rumus tetapi tahu bagaimana proses sebenarnya. bagi penulis ini akan lebih bermakna bagi siswa dibanding dengan mengajarkan rumusnya saja. rumus mungkin mudah dihafal, tetapi juga mudah dilupakan.  ok, mari lihat penjelasannya,,,

bagi mereka yang rajin ^^ tidaklah sulit tinggal jumlahkan saja 1+2+3+4+...+100 pasti dapat jawabannya. namun, cara ini terlalu lama, dan repot diaplikasikan. bagaimana kalau pertanyaanya "berapakah jumlah bilangan dari 1 sampai 1000?" atau bahkan sampai 1000000?  tentulah tidak mungkin siswa harus menjumlah secara manual. muncullah pertanyaan, "bagaimana caranya agar penjumlahan seperti itu mudah dilakukan?"
triknya sangat mudah,,,  agar lebih memahami kita hitung jumlah bilangan dari 1 sampai 10 dulu.
secara manual tentu mudah 1+2+3+...+10 = 55
perhatikan cara lain berikut!
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
kita tahu bahwa penjumlahan itu bersifat komutatif dan asosiatif a + b = b + a dan (a+b)+c = a+(b+c) (bahasa teori). mudahnya bilangan yang akan dijumlah itu dapat dijumlahkan secara acak, contoh 1+2+3= 6, bisa dilakukan dengan menjumlahkan 1+3 dulu baru hasilnya ditambah 2, atau 2+3 dulu baru ditambah 1 semua hasilnya sama. berdasarkan sifat inilah penjumlahan 1+2+3+...+10 dapat dilakukan dengan cara berikut:
langkah pertama jumlahkan bilangan pertama dengan bilangan terakhir dari deret tersebut 1 dan 10, setelah itu hapus bilangan awal dan akhir tersebut sisanya 2+3+4+5+6+7+8+9, langkah kedua jumlahkan bilangan pertama dan terakhir berikutnya (2 dan 9) kemudian hapus bilangan tersebut, dst secara berurut ditulis sebagai berikut

10  ;   9   ;   8   ;   7   ;   6
  1  ;   2   ;   3   ;   4   ;   5
---------------------------------------- +
hasilnya
1 + 10 = 11
2 + 9 = 11
3 + 8 = 11
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11
dengan menjumlah awal (1) dan akhir bilangan  (10)  maka diperoleh jumlah yakni 11, dst, diperoleh 5 bilangan 11, langkah berikutnya tinggal kita jumlahkan saja, 11+11+11+11+11 = 55,
secara sederhana 11x5 = 55

contoh kedua carilah hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 50, perhatikan caranya!
kita jumlahkan bilangan pertama dan terakhir 1 + 50 = 51
bilangan pertama dan terakhir berikutnya 2 + 49 = 51, demikian seterusnya pastilah diperoleh jumlah 51. masalahnya ada berapa bilangan 51 yang harus dijumlah??  seperti pada contoh 1 diperoleh bilangan 11 sebanyak 5, jadi jumlahnya 11x5=55, bagaimana dengan contoh 2???

tidak perlu bingung, perhatikan cara berikut! bilangan dari 1 sampai 10 ada 10 bilangan. bayangkan ada 10 anak di kelas dan akan dibentuk kelompok terdiri dari 2 orang, maka akan terbentuk 5 kelompok anak di kelas tersebut. pada kasus 50 bilangan, bayangkan ada 50 siswa di kelas yang akan dibagi menjadi kelompok terdiri dari 2 orang siswa, maka ada sebanyak 50 : 2 kelompok, yaitu 25. karena setiap pasang berjumlah 51, maka bilangan 51 ada sebanyak 25.

jadi hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 50 adalah 51x25 = 1275.

misalkan n adalah banyaknya bilangan yang akan dijumlah
secara umum langkah-langkah yang dilakukan adalah
1. jumlahkan bilangan pertama dan terakhir
2. kalikan hasil pada langkah 1 dengan (n/2)

maka pertanyaan berapakah hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 100?? akan menjadi mudah
1. jumlahkan bilangan pertama dan terakhir ( 1 + 100 = 101 )
2. kalikan hasil pada langkah 1 dengan (n/2) ; karena n = 100 maka  101x(100/2) = 101x50 = 5050
jadi hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 100 adalah 5050.

mudah bukan?? ^^

sekarang coba cari hasil penjumlahan berikut:
1. bilangan dari 1 sampai 1000
2. bilangan dari 1 sampai 5000
3. bilangan dari 1 sampai 1000000
4. bilangan dari 101 sampai 500
5. bilangan genap antara 1 dan 51
6. bilangan ganjl antara 100 dan 500

saya tunggu hasilnya,,  ^^  selamat mencoba

NB: jika ada yang masih bingung silahkan tanyakan lewat komentar atau email ^^


14 comments:

  1. yang menghitung jumlah bilangan ganjil atau genap bagaimana caranya?? makasih ya sebelumnya, sangat bermanfaat :)

    ReplyDelete
    Replies
    1. terimakasih pertanyaannya,, nanti saya postingkan bagaimana caranya.. mohon maaf, penulis sibuk jadi respon agak pelan,, :)

      Delete
  2. Klo.ngitung buat yg negatif gimana?

    ReplyDelete
    Replies
    1. untuk negatif sama saja,, misalkan jumlah negatif 1 sampai negatif 100,, jumlah awal dan akhirnya-nya jadi -101 dikalikan 50, hasilnya -5050. atau lebih mudah kalau (-1+ -2 + -3 + ... + -98 + -99 + -100) di ubah menjadi (-1)(1+ 2+ 3+ ... + 98+ 99+ 100). tapi tidak berlaku jika letak bilangan negatifnya tidak beraturan,,

      Delete
  3. terimakasih sangat membantu kami dalam mendampingi ananda. salam

    ReplyDelete
  4. numpang nanya. kalau jumlah dari 100 bilangan ganjil pertama berapa, n gmana caranya?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Caranya sama, jumlahkan bilangan pertama dan terakhir,, krn 100 bilangan ganjil yg pertama itu 1,3,5,7,...,197,199. jadi jumlahnya 200,, banyaknya bilangan ada 100 maka jumlah 100 bilangan ganjil pertama adalah (100/2)(200)=10000.

      Delete
  5. sip makasih mas aan bermanfaat hehe :D

    ReplyDelete
  6. 4 angka yg di jumlahkan tetap 100 itu berapa
    Misal
    1+1+1+1=4

    ReplyDelete
  7. 4 angka yg di jumlahkan tetap 100 itu berapa
    Misal
    1+1+1+1=4

    ReplyDelete
  8. Kalau 1 + 1/2 + 1/3 +…+1/100 bagaimana?

    ReplyDelete
  9. Thnks kk ane udh ngerti skrang.cara menjelaskannya sangat memuaskan saya

    ReplyDelete
  10. om kalo 1-2+3-4+5....+99-100 ? caranya gimana ya?

    ReplyDelete

Penulis mengharapkan komentar, kritik, dan saran agar blog ini semakin baik kedepannya :)